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Le 9, toujours le 9
François-Marie AROUET, dit VOLTAIRE, est né en 1694. Considérons les 4 chiffres composant son année de naissance, soit 1, 6, 9 et 4 et réordonnons-les de manière totalement aléatoire pour former un autre nombre de 4 chiffres. Supposons que l'on parvienne à 9641, on soustrait alors le plus petit de ces 2 nombres au plus grand, c'est à dire ici 9641 - 1694; on trouve alors 7947; additionnons les 4 chiffres obtenus: 7+9+4+7 = 27 , et recommençons jusqu'à n'avoir plus qu'un seul chiffre: 2+7=9 ; on aboutit donc à 9. Rien d'extraordinaire me direz-vous. On aurait cependant obtenu le même résultat avec un autre arrangement, par exemple 1496 ou 4691, etc... On aurait obtenu également le même résultat en partant d'un autre nombre de base, par exemple l'année de naissance de Charles DARWIN ou d'Isaac NEWTON. En fait, on aurait même pu former un nombre de base plus grand, en incluant le mois et jour de la naissance d'un grand homme. Maintenant, faîtes l'essai avec votre propre date de naissance.
Si vous aboutissez également au chiffre 9, êtes-vous taillé pour laisser votre nom dans l'histoire ou y a-t-il une raison pour arriver systématiquement au mystérieux chiffre 9 ?
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La solution de l'énigme Le 9, toujours le 9 :
Il est bien sûr systématique d'arriver à 9, quel que soit le nombre de départ. Choisissons un nombre au hasard, par exemple 1309832. Si l'on additionne tous les chiffres, puis tous les chiffres du nouveau nombre, etc... , on parvient au chiffre 8. Cela signifie que le reste de la division par 9 de ce nombre est égal à 8, on dit encore que ce nombre est égal à 8 modulo 9. Si l'on modifie l'ordre des chiffres, on obtient un nouveau nombre, lui aussi égal à 8 modulo 9. Et la différence entre ces 2 nombres, elle, sera donc obligatoirement égale à 9 modulo 9, ce qui explique le résultat obtenu. Cela permet de faire des tours de "magie": le dos tourné, on demande à quelqu'un de réaliser l'expérience décrite; on lui demande alors de citer, un après l'autre, tous les chiffres du résultat, en en omettant un, non nul. On additionne alors mentalement tous ces chiffres, en gardant en tête leur valeur modulo 9. On devine alors à coup sûr le chiffre manquant: c'est celui qui est nécessaire à obtenir un résultat multiple de 9. On peut procéder de même avec une calculette: celle-ci comporte un pavé numérique où sont alignés 7, 8 et 9, puis 4, 5 et 6, puis 1, 2 et 3. On demande au candidat de choisir au hasard une ligne, ou une colonne ou une diagonale, puis de taper les 3 chiffres correspondant dans l'ordre qu'il désire. On lui fait alors multiplier ce nombre à un autre, établi de la même façon. On lui demande alors de choisir dans le résultat un chiffre non nul, et on le devine, de la même façon que précédemment. Le résultat est en effet un multiple de 9, en tant que produit de 2 multiples de 3. Par exemple, le candidat choisit la 1ère colonne, tape le nombre 417, le multiplie à 375, établi lui par la 2ème diagonale. Il obtient 156375. Il choisit un chiffre au hasard, par exemple le 6, et cite tous les autres dans le désordre: 5, 1, 7, 3 et 5 par exemple. On calcule 5+1+7+3+5= 21, 3+1=4 , il nous faudrait donc rajouter 6 pour parvenir à 9: 6 est donc bien le chiffre manquant !
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L'héritage du chamelier
Un chamelier, père de trois fils, décède.
Il possède dix-sept chameaux, il en lègue la moitié à son premier fils, le tiers à son deuxième, et le neuvième à son troisième (franchement, il faut être tordu pour faire un testament pareil). Mais 19 n'étant divisible ni pas 2, ni par 3, ni par 9, et un chameau découpé en morceaux ayant peu de valeur, les fils sont fort embarrassés. Il vont alors consulter le vieux sage du village (comme toujours dans ces histoires) et celui-ci leur propose une solution très pratique.
Quelle est la solution proposée ?
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La solution de l'énigme L'héritage du chamelier :
Cette histoire de chameaux est un grand classique.
Le sage rajoute son chameau. On a 18 animaux, que l'on répartit facilement en 9, 6 et 2. Il en reste un: celui du sage qui récupère sa bête. On aurait pu aussi choisir 7, 1/2, 1/4 et 1/8, ou 41 , 1/2, 1/3 et 1/7. Il y a en tout 7 variantes possibles de ce casse-tête. Trouvez-les toutes !
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Fille ou garçon ?
"Nos nouveaux voisins viennent d'emménager" raconte Madame Lepyon à son mari, "C'est un jeune couple avec deux enfants".
Monsieur Lepyon acquiesce et lui demande si les enfants sont des filles ou des garçons. Mme Lepyon est alors un peu embarrassée.
"A vrai dire, je n'ai pas encore vu leurs enfants, mais je connais leurs prénoms, car j'ai entendu leurs parents les appeler. Il y a forcément une fille - Natacha -, par contre, l'autre s'appelle Dominique. Il peut donc s'agir d'une fille ou d'un garçon."
"Une chance sur deux !" répond son mari.
Madame Lepyon n'est pas d'accord avec cette analyse. A-t-elle raison ?
Pour simplifier, considérez qu'il naît autant de garçons que de filles (ce qui est d'ailleurs la réalité, en très bonne approximation), et que le prénom de "Dominique" est autant choisi pour des filles que pour des garçons.
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La solution de l'énigme Fille ou garçon ? :
Madame Lepyon a raison de trouver que son mari se trompe; il y a en réalité deux fois plus de chances (ou de malchances ?) que Dominique soit un garçon plutôt qu'une fille. Considérons en effet l'ensemble des couples ayant deux enfants. A chaque naissance, la probabilité d'avoir une fille est la même que celle d'avoir un garçon; un simple tableau à double entrée montre immédiatement que 25% des couples ont deux filles, 25% deux garçons, et 50% une fille et un garçon. Les voisins des Lepyon font partie des 75% qui ont une fille; comme les 2/3 de ceux-ci ont en réalité une fille et un garçon, et 1/3 de ceux-ci ont deux filles, il est donc deux fois plus probable que l'autre enfant, Dominique, soit un garçon.
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Fausse monnaie
Hippolyte place trois pièces de monnaie dans un sac. Une d'entre elles est tout à fait normale, et comporte donc un côté "pile" et un côté "face" , mais les deux autres sont fausses: les deux côtés sont identiques, "pile" pour une d'entre elles et "face" pour l'autre.
Hippolyte plonge sa main dans le sac et en retire une pièce au hasard; de façon toujours aléatoire, il regarde un des côtés qui se trouve être du type "pile".
Avant de retourner la pièce, Hippolyte s'interroge : "L'autre côté sera-t-il lui aussi "pile" ou sera-t-il "face" ? "
A votre avis, quelle est l'hypothèse la plus probable ?
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La solution de l'énigme Fausse monnaie :
L'autre côté a deux fois plus de chance d'être "pile" que "face".
Hippolyte avait, au départ, autant de chance de se retrouver devant un côté "pile" qu'un côté "face", car il y a 6 faces de pièces, 3 "pile" et 3 "face". Le hasard a choisi le côté "pile". Mais ce côté a une chance sur 3 d'être le côté "pile" de la pièce normale, une chance sur 3 d'être un des 2 côtés de la fausse pièce pile, et une chance sur 3 d'être l'autre côté de cette fausse pièce. Finalement on a une probabilité de 1/3 pour que l'autre côté soit "face", et 2/3 pour qu'il soit "pile".
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