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Trouvez la suite
1) Voici une suite de lignes de chiffres :
1
11
21
1211
111221
312211
Trouvez la suite !
2) Pour ceux qui ont trouvé la solution à la question précédente ( et pour ceux qui ont été la lire ! ), une autre question concernant cette suite : montrez que le chiffre 4 ne peut jamais apparaître.
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La solution de l'énigme Trouvez la suite :
1) Il suffit d'écrire ce que l'on lit :
1
Un 1 : 11
11
Deux 1 : 21
21
Un 2, un 1 : 1211
1211
Un 1, un 2, deux 1 : 111221
111221
Trois 1, deux 2, un 1 : 312211
312211
La ligne suivante est donc :
Un 3, un 1, deux 2, deux 1 : 13112221
2) Faisons l'hypothèse qu'un 4 apparaisse sur une ligne.
Ce 4 doit forcement avoir un caractère à sa droite ( seul le 1 finit les lignes ), supposons que celà soit un x.
La ligne (II) comporterait donc quatre x consecutifs :
(I) ............
(II) ....axxxxb....
(III) .... 4x ...........
Deux possibilités pour le découpage en couple :
(II) ....a xx xx b.... ou
(II) .... ax xx xb ....
Premier cas, le decoupage en couples se fait ainsi :
(II) ....a xx xx b....
La ligne (I) serait donc :
x en x exemplaires puis x en x exemplaires :
(I) .... xxxxxxx xxxxxxx ......
x fois x fois
(II) ....axxxxb....
(III) .... 4x ...........
La ligne (II) serait donc
(II) ....ayxb....
Avec y = 2 × x
Impossible : donc l'hypothèse est fausse.
Second cas, le découpage en couples se fait ainsi :
(II) .... ax xx xb ....
La ligne (I) serait donc :
x en a exemplaires puis x en x exemplaires et enfin b en x exemplaires :
(I) .... xxxxxxx xxxxxxx bbbbbbbb ......
a fois x fois x fois
(II) ....axxxxb....
(III) .... 4x ...........
La ligne (II) serait donc
(II) ....yxb....
Avec y = a + x
Impossible : donc l'hypothèse est fausse.
Conclusion : Dans tous les cas l'hypothèse est fausse.
Donc il n'y a pas de 4 dans cette suite de chiffres.
On monttrerais la même chose pour tout nombre supérieur à 4 ; chaque ligne est donc composée uniquement de 1, de 2 et de 3.
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Les oeufs des poules
Huit poules pondent huit oeufs en huit jours.
Combien d'oeufs pondent quatre poules en quatre jours ?
( NB : on parle bien sûr en moyenne )
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La solution de l'énigme Les oeufs des poules :
Deux oeufs ; en effet :
Quatre poules pondent
quatre oeufs en huit jours.
Donc quatre poules pondent
deux oeufs en quatre jours.
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Le panier aux oeufs
Une mère de famille pas très riche voit partir ses 3 fils au bal du village. Comme elle pense qu'ils auront un
petit creux à l'estomac en rentrant, elle leur dit :
Quand vous rentrerez, restaurez-vous donc un peu. Dans le frigo il y a un panier avec un certain nombre d'oeufs.
Que le premier d'entre vous prenne la moitié du panier + la moitié d'un oeuf.
Que le second prenne la moitié de ce qui reste + la moitié d'un oeuf
Enfin que le troisième prenne le reste + la moitié d'un oeuf.
Attention, vous n'aurez pas à casser d'oeuf lors de la distribution.
Comment vont-ils s'y prendre ? Combien d'oeufs contenait le panier ?
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La solution de l'énigme Le panier aux oeufs :
Il y avait 7 oeufs dans le panier.
Le premier a pris 3 oeufs et demi + un demi oeuf, soit = 4 oeufs
le deuxième a pris la moitié du reste, soit 1 oeuf et demi + un demi oeuf = 2 oeufs
le troisième s'est accaparé du reste, soit 1 demi oeuf + la moitié d'un oeuf = 1 oeuf.
Récapitulation : 4 + 2 + 1 = 7 oeufs et ils n'en ont cassé aucun.
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La politique de l'honnêteté
Un parti politique est composé de 100 membres. Ces membres peuvent être très honnêtes ou de vrais truands.
On sait qu'au sein du parti il y a au moins un membre honnête et que si on prend deux individus aléatoirement, il y en toujours au moins l'un des deux qui est un truand.
Combien sont honnêtes, combien sont des truands ?
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La solution de l'énigme La politique de l'honnêteté :
Avez vous répondu 50/50 ou 51/49 ? C'est faux !
En réalité, il y a 1 membre honnête et 99 truands.
En effet toute paire de membre contenant au moins un truand, on ne peut pas avoir deux personnes honnêtes en même temps. Il n'y a donc au plus qu'un homme honnête dans le groupe. Or nous savons qu'il y en a au moins un. Cela signifie donc qu'il y en a exactement un et un seul.
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